Como Desenhar em 3D

Após a criação de cenas e objetos tridimensionais o próximo passo é efetuar a sua presentação. Assim deparamos com o problema de apresentar uma entidade tridimensional num meio bidimensional (2D), que é a tela bidimensional. A esse processo denominamos de Projeção. Este processo tem sido tratado exaustivamente por desenhistas, artistas, arquitetos, que buscaram técnicas e artifícios para o sistematizar e solucionar.
A tabela 1 apresenta uma taxonomia dos métodos de projeção.

Projeção Perspectiva
As técnicas utilizadas em projeção perspectiva são derivadas daquelas utilizadas pelos artistas e
desenhistas profissionais. Pode-se dizer que o olho do observador coloca-se no centro de projeção, e o plano que deve conter o objeto ou cena projetada transforma-se no plano de projeção. Dois segmentos de reta que saem do centro de projeção e atingem o objeto projetado no plano de projeção, são chamadas de projetantes (veja a figura 10.1)

Os desenhos em perspectiva são caracterizados pelo encurtamento perspectivo e pelos pontos de fuga. O encurtamento perspectivo, é a ilusão de que os objetos e comprimentos são cada vez menores à medida que sua distância ao centro de projeção aumenta. Tem-se também a ilusão de que conjuntos de linhas paralelas que não são paralelas ao plano de projeção, convergem para um ponto de fuga. Denominam-se pontos de fuga principais, quando dá-se a aparência de haver uma intersecção entre um conjunto de retas pararelas com um dos eixos principais Ox, Oy ou Oz. O número de pontos de fuga principais é determinado pelo número de eixos principais intersectados pelo plano de projeção. Por exemplo: se o plano de projeção intercepta apenas os eixo z (então é perpendicular ao eixo z), somente o eixo z possui um ponto de fuga principal, pois linhas paralelas aos eixos x e y, são também paralelas ao plano de projeção, e dessa forma não ocorre a ilusão de convergência.

Projeções Perspectivas são categorizadas pelo seu número de pontos de fuga principais, ou seja o número
de eixos que o plano de projeção intercepta. A figura 10.2mostra 2 projeções perspectivas (com um ponto de fuga) distintas de um cubo. Está claro que possui apenas um ponto de fuga? Somente as linhas paralelas ao eixo z convergem, e as linhas paralelas aos eixos x e y continuam paralelas!

Figura 10.4 – Projeção Perspectiva com 2 pontos de fuga principais (o plano de projeção intercepta 2 eixos (x e z).
Figura 10.7 – Confusão visual da perspectiva (objeto atrás do centro de projeção).
Projeções perspectivas com 2 pontos de fuga (quando 2 eixos principais são interceptados pelo plano de projeção) são mais comumente usadas em arquitetura, engenharia, desenho publicitário e projeto industrial (ver figura 10.4). Já as projeções perspectivas com 3 pontos de fuga são bem menos utilizadas, pois adicionam muito pouco em termos de realismo comparativamente às projeções com 2 pontos de fuga, e o custo de implementação é bem maior (veja figura 10.5).

Anomalias da Perspectiva
A projeção perspectiva introduz certas anomalias que aumentam o realismo em termos de profundidade, mas também alteram as medidas e formas reais do objetos.
1. Encurtamente perspectivo: Quanto mais distante um objeto está do centro de projeção, menor parece ser
(o tamanho de sua projeção torna-semenor) , como mostra a figura 10.6.
2. pontos de Fuga: As projeções de retas não paralelas ao plano de projeção, provocam a ilusão de que se
interceptam num ponto do horizonte.
3. Confusão Visual: Os objetos situados atrás do centro de projeção são projetados no plano de projeção
de cima para baixo e de trás para a frente (ver figura 10.7)
4. Distorção Topológica: Consideremos o plano que contém o centro de projeção e que é paralelo do plano de projeção. Os pontos deste plano são projetados no infinito pela transformação

perspectiva. Em particular, um segmento de reta que une um ponto situado à frente do observador a um ponto situado atrás dele e efetivamente projetado segundo uma linha quebrada de comprimento infinito.

Desenvolvimento Matemático para Projeções Geométricas
Inicialmente, vamos supor que no caso de projeção perspectiva, o plano de projeção é normal ao eixo z, em z=d. Para a projeção paralela o plano de projeção está em z=0. As projeções perspectiva e paralela podem ser definidas através de matrizes 4×4, o que é interessante para a composição de transformações juntamente com a projeção.
Assim, seja o plano de projeção que se encontra a uma distância d da origem, e P o ponto que será projetado sobre ele. Para calcular o ponto Pp=(xp, yp, zp), que é a projeção perspectiva de (x,y,z) sobre o plano de projeção em z=d. Usando a semelhança de triângulos (ver fig 10.7), temos:

A distância d pode ser vista como o fator de escala que se aplica a xp e yp. Na projeção perspectiva, a
divisão por z faz com que os objetos mais distantes do plano de projeção pareçam menores do que os que estão mais próximos. Todos os valors de z podem ocorrer (salvo z=0).
A transformação da equação (10.2) pode ser expressa como:

Uma outra forma de construir projeções perspectivas, é colocando o plano de projeção em z=0, e o centro
de projeção (COP) em z=-d, como na figura 10.9. Da mesma forma a partir dos triângulos semelhantes, temos:

Assim a matriz de projeção perspectiva fica:

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